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Estudiando la curva misteriosa

18/06/2012

Hace unos años estaba aburrido y me puse a dibujar en una hoja cuadriculada. Encontré un dibujo interesante dibujando segmentos de cierta forma. Empezaba haciendo un segmento del borde izquierdo al inferior. Luego otro, pero que empezaba un poco arriba y terminaba un poco a la izquierda.




Siguiendo así se va formando una grilla muy loca y una curva particular. El otro día me propuse encontrar una función que la describa. Lo primero es darle un nombre a cada una de las rectas que dibujé. Para esto digo que la recta t es la que empieza en (x,y)=(0,t) y termina en (x,y)=(1-t,0).

La ecuación de la recta t es y=t-\frac t{1-t} x.

Ahora quiero ver dónde queda la envolvente. Para esto busco la intersección entre la recta t y una muy cercana, t+dt.

Hay que combinar las ecuaciones

y=t-\frac t{1-t} x
y=t+dt-\frac {t+dt}{1-t-dt} x

Tomando límite con dt\to0 llegamos a que

x = (1-t)^2
y = t^2

Expresando todo en función de x encontramos y = (1-\sqrt x)^2

No es un círculo, ni siquiera sé si tiene nombre.

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